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知识点总结

一、矩形、菱形、正方形的性质

1.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质；

②矩形的四个角都是直角；

③矩形的对角线相等；

④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；

⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；

⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质

正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质

①边：四边相等，对边平行；

②角：四个角都是直角；

③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；

④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）

A．360 B．90

C．270D．180

例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________。

例5如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．

二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形；

④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等四边形是菱形；

④对角线垂直平分的四边形是菱形。

3.正方形的判定

①菱形+矩形的一条特征；

②菱形+矩形的一条特征；

③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

说明一个四边形是正方形的一般思路是：先判断它是矩形，在判断这个矩形也是菱形；或先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形。

例1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，并交于点E，连续EC、AD。

求证：四边形ADCE是矩形。

例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB.

求证：AD与EF互相垂直平分。

例3.已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。

求证：四边形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形与函数综合题

1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题；

2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题；

例1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。

例2.如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______．

例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式。

四、矩形、正方形的翻折

1.从翻折中找出对称轴，利用对称性找相等关系。

2.利用相等关系建立方程解决问题。

例1如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若CF=1，FD=2，则BC的长是( )

A．3√6 B．2√6

C．2√5 D．2√3

例2 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）

A.1或2 B. 2或3

C.3或4 D. 4或5

例3 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA；③∠DFG=60°；④DE=2-√2；⑤S△AEF=S△DFG．其中正确的说法有（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

例4 四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H。

(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明。

(2)如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长。

五、综合运用

1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定，结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

例1在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

(1)小明发现DG⊥BE菱形对角线，请你帮他说明理由．

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由。

例2现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M为线段BD中点，连接CM，EM.

(1)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，若AC=1，AE=2，求FM的长度；

(2)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，求证：CM=EM；

(3)如图2，当A、B、D在同一条直线上时，请探究CM，EM的数量关系和位置关系，请先给出结论，然后证明。

概念回顾

平行四边形的定义和性质有哪些

菱形的定义

对于平行四边形，对边平行且相等，但是邻边不一定相等，那么，如果邻边相等，会变成什么样的图形呢？

当平行四边形的一组邻边相等时，我们就将其称为特殊的平行四边形——菱形

PS：如果一个图形是菱形，那么它一定是平行四边形

菱形的性质

菱形作为特殊的平行四边形，具有一般四边形所不具有的一些特殊性质

性质1：菱形是特殊的平行四边形，所以AB=CD,AD=BC，由菱形的邻边相等，故AB=BC=CD=AD

性质2：平行四边形的对角线相互平分，又AB=AD，三线合一，故AC⊥BD，即对角线相互垂直且平分

性质3：易证△ABD≌△CBD，故∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，故对角线平分顶角菱形对角线，同理，AC平分∠BAD和∠BCD

PS：凡平行四边形具有的性质，菱形同样具备

菱形的面积

菱形的面积计算方法有两种

方法1：将菱形视为平行四边形，按照平行四边形的面积计算方法进行计算，即面积=底×高

方法2：利用菱形对角线的相互垂直的性质，即对角线乘积的一半

菱形的判定

菱形是特殊的平行四边形，故菱形的判定也有两种思路

从平行四边形开始

如果一个四边形已经是平行四边形，那么我们只要利用菱形所具有，而平行四边形不具有的性质即可进行证明

判定1：根据菱形的性质

当一个四边形是平行四边形时，只要一组临边相等，即为平行四边形

判定2：根据菱形具有而平行四边形不具有的性质

菱形的对角线相互垂直且平分，平行四边形的对角线相互平分，因此，当一个平行四边形的对角线相互垂直时，该平行四边形也即为菱形

从一般四边形开始

在我们平时所遇到的题目中，不是所有的四边形都告诉我我们是平行四边形，还有更一般的四边形需要我们证明为菱形

判定3：当AB=BC=CD=AD时，也有AB=CD,BC=AD，因此，四边形ABCD也为平行四边形，又AB=AD，一组邻边相等，故四边形ABCD为菱形

判定4：当一个四边形对角线先相互平分时，它是一个平行四边形，又对角线相互垂直，则该四边形为平行四边形

四种判定定理的关系

从上述文字我们可以发现两点

第一，菱形的判定方法有两种：

第1种是从平行四边形出发，找一组邻边相等，或对角线相互垂直

第2种是从一般四边形出发，利用菱形的特殊性质进行证明

第二，判定1和判定3是相似的，判定2和判定4是相似的，判定3和判定4都可以通过过度到平行四边形，转化为判定1和判定3

思考：对角线相互垂直的四边形一定是菱形么？如果不是，请举出反例。

习题精析

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上一动点，点E是AB的中点，若AD=2，∠DAB=60°，则PB+PE的最小值是（）

解析：

C

试题分析：

找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．

试题解析：

连接DE交AC于P，连接DE，DB，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，

∴PE+PB=PE+PD=DE，

即DE就是PE+PB的最小值．

∵∠BAD=60°，AD=AB，

∴△ABD是等边三角形，

∵AE=BE，

∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．

在Rt△ADE中，

即PB+PE的最小值为

故选C．

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE．

（1）请判断△PDE的形状，并给予证明；

（2）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．

解析：

试题分析：

（1）首先证明△BCP≌△DCP，得出∠CBP=∠CDP，PD=PB，根据PE=PB可得∠CBP=∠CEP，PD=PE，然后求出∠DPE=∠DCE=90°，得出结论；

（2）由（1）可知∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证．

试题解析：

（1）∴△PDE为等腰直角三角形

证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，

在△BCP和△DCP中，

PC=PC

∴△BCP≌△DCP（SAS）；

∴∠CBP=∠CDP，PD=PB

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠CEP，PD=PE

∵∠CFE=∠PFD（对顶角相等）

∴180°-∠PFD-∠CDP=180°-∠CFE-∠CEP

即∠DPE=∠DCE=90°

∴△PDE为等腰直角三角形．

（2）∵AB∥CD

∴∠DCE=∠ABC，∠DPE=∠DCE

∴∠DPE=∠ABC

∵∠ABC=56°

∴∠DPE=56°．

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．

（1）求AD的长；

（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

答案

B．

试题解析：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，

∴2017÷4=506…1，

∵（2+4+8+6）×506+2=10122，

∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2。故选B。

图文导学

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